Analysis Beispiele

$5 - 3 x$

Schritt 1

Schreibe $5 - 3 x$ als Funktion.

$f (x) = 5 - 3 x$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3$

Schritt 2.1.3

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f' (x) = - 3$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 = 0$

Schritt 3.2

Da $- 3 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

An keinem Punkt ist die Ableitung $f' (x) = - 3$ gleich $0$ oder nicht definiert. Das Intervall, für das zu prüfen ist, ob $f (x) = 5 - 3 x$ ansteigt oder abfällt, ist $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die Ableitung $f' (x) = - 3$ ein, um zu prüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist. Wenn das Ergebnis negativ ist, fällt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ab. Ist das Ergebnis positiv, steigt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ an.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - 3$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 7

Das Ergebnis des Einsetzens von $1$ in $f' (x) = - 3$ ist $- 3$ , was negativ ist, folglich ist der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ abfallend.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \infty)$

Schritt 8

Abfallend im Intervall $(- \infty, \infty)$ bedeutet, dass die Funktion immer abfallend ist.

Immer abnehmend

Schritt 9