Analysis Beispiele

$(x - 2) e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $(x - 2) e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = (x - 2) e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.1.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Schritt 2.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Schritt 2.1.3.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x e^{x} - 2 e^{x} + e^{x}$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $- 2 e^{x}$ und $e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x}$

Schritt 2.1.4.3

Stelle die Terme um.

$e^{x} x - e^{x}$

Schritt 2.1.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x - e^{x}$ um.

$f' (x) = x e^{x} - e^{x}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x e^{x} - e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x e^{x} - e^{x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x e^{x} - e^{x} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x} - e^{x}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x}$ heraus.

$e^{x} x - e^{x} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1$ .

$1$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = x e^{x} - e^{x}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = (x - 2) e^{x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} - e^{0}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 - e^{0}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 - e^{0}$

Schritt 6.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f' (0) = - 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = (2) \cdot e^{2} - e^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $e^{2}$ .

$f' (2) = 2 e^{2} - e^{2}$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $e^{2}$ von $2 e^{2}$ .

$f' (2) = e^{2}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $e^{2}$ .

$e^{2}$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $e^{2}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 1)$

Schritt 9