Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 11}{x - 6}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2} - 11}{x - 6}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} - 11}{x - 6}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 11$ und $g (x) = x - 6$ .

$\frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 11] - (x^{2} - 11) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - 11) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - 11) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x + 0) - (x^{2} - 11) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x) - (x^{2} - 11) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 6$ .

$\frac{2 \cdot (x - 6) x - (x^{2} - 11) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{2 (x - 6) x - (x^{2} - 11) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 6) x - (x^{2} - 11) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 6) x - (x^{2} - 11) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x - 6) x - (x^{2} - 11) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 6) x - (x^{2} - 11)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 6) x - (x^{2} - 11)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 6 x - (x^{2} - 11)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 6 x - x^{2} - - 11}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 6 x - x^{2} - - 11}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 6 x - x^{2} - - 11}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2} - - 11}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 11$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2} + 11}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 11}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 11$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $11$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 11, - 1$

Schritt 2.1.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(x - 11) (x - 1)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x - 11) (x - 1)}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 11) (x - 1)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x - 11) (x - 1)}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x - 11) (x - 1)}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 11) (x - 1) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Setze $x - 11$ gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 11$

Schritt 3.3.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 11) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 11, 1$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $11, 1$ .

$11, 1$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 11) (x - 1)}{{(x - 6)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, 6) \cup (6, 11) \cup (11, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{((0) - 11) ((0) - 1)}{{((0) - 6)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $11$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{- 11 (0 - 1)}{{(0 - 6)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{- 11 \cdot - 1}{{(0 - 6)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{- 11 \cdot - 1}{{(- 6)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (0) = \frac{- 11 \cdot - 1}{36}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 1$ .

$f' (0) = \frac{11}{36}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{11}{36}$ .

$\frac{11}{36}$

Schritt 7.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $\frac{11}{36}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{((\frac{7}{2}) - 11) ((\frac{7}{2}) - 1)}{{((\frac{7}{2}) - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Um $- 11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{(\frac{7}{2} - 11 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{7}{2} - 1)}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Kombiniere $- 11$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{(\frac{7}{2} + \frac{- 11 \cdot 2}{2}) (\frac{7}{2} - 1)}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{\frac{7 - 11 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{7}{2} - 1)}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{\frac{7 - 22}{2} \cdot (\frac{7}{2} - 1)}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4.2

Subtrahiere $22$ von $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{\frac{- 15}{2} \cdot (\frac{7}{2} - 1)}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{15}{2} \cdot (\frac{7}{2} - 1)}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{15}{2} \cdot (\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{15}{2} \cdot (\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{15}{2} \cdot \frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{15}{2} \cdot \frac{7 - 2}{2}}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{5 \cdot 15}{2 \cdot 2}}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10.2

Mutltipliziere $5$ mit $15$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{2 \cdot 2}}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{7}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{7}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{7}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{7 - 6 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{7 - 12}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4.2

Subtrahiere $12$ von $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.6

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{1 {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 8.2.2.9

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{1 (\frac{25}{2^{2}})}$

Schritt 8.2.2.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{1 (\frac{25}{4})}$

Schritt 8.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Schritt 8.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{75}{4}$ in den Zähler.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 8.2.4.2

Faktorisiere $25$ aus $- 75$ heraus.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{25 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 8.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{25 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 8.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 8.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{7}{2}) = - 3$

Schritt 8.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 8.3

Bei $x = \frac{7}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(1, 6)$ ab.

Abfallend im Intervall $(1, 6)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, 11)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{17}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 11) ((\frac{17}{2}) - 1)}{{((\frac{17}{2}) - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Um $- 11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 11 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 1)}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Kombiniere $- 11$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 11 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 1)}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 11 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 1)}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 22}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 1)}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.4.2

Subtrahiere $22$ von $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 5}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 1)}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{5}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 1)}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{5}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{5}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{5}{2} \cdot \frac{17 - 1 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{5}{2} \cdot \frac{17 - 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.9.2

Subtrahiere $2$ von $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 5}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.2

Mutltipliziere $15$ mit $5$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{17}{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{17}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{17 - 6 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{17 - 12}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.2.4.2

Subtrahiere $12$ von $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 9.2.2.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{\frac{25}{2^{2}}}$

Schritt 9.2.2.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Schritt 9.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{75}{4}$ in den Zähler.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 9.2.4.2

Faktorisiere $25$ aus $- 75$ heraus.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{25 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 9.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{25 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 9.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 9.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 9.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

Schritt 9.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 9.3

Bei $x = \frac{17}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(6, 11)$ ab.

Abfallend im Intervall $(6, 11)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(11, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f' (12) = \frac{((12) - 11) ((12) - 1)}{{((12) - 6)}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1.1

Subtrahiere $11$ von $12$ .

$f' (12) = \frac{1 (12 - 1)}{{(12 - 6)}^{2}}$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $12 - 1$ mit $1$ .

$f' (12) = \frac{12 - 1}{{(12 - 6)}^{2}}$

Schritt 10.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$f' (12) = \frac{11}{{(12 - 6)}^{2}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $12$ .

$f' (12) = \frac{11}{6^{2}}$

Schritt 10.2.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (12) = \frac{11}{36}$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{11}{36}$ .

$\frac{11}{36}$

Schritt 10.3

Bei $x = 12$ ist die Ableitung $\frac{11}{36}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(11, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(11, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 1), (11, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(1, 6), (6, 11)$

Schritt 12