Analysis Beispiele

$\ln (\sin^{2} (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 4.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\sin (x) (2 \cos (x)))$

Schritt 4.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Schritt 4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$\csc^{2} (x) \sin (2 x)$

Schritt 5.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (2 x)$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Schritt 5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ und $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x)$ und $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.8

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.9

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Schritt 5.10

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \cot (x)$