Analysis Beispiele

${(\tan^{-1} (4 x))}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan^{-1} (4 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan^{-1} (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (4 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (4 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan^{-1} (4 x)$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (4 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan^{-1} (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan^{-1} (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan^{-1} (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $4 (x)$ an.

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + 16 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{4}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{4}{1 + 16 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $\frac{4}{1 + 16 x^{2}}$ mit $1$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) \frac{4}{1 + 16 x^{2}}$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$2 \tan^{-1} (4 x) \frac{4}{16 x^{2} + 1}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{4}{16 x^{2} + 1}$ und $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{16 x^{2} + 1} \tan^{-1} (4 x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8}{16 x^{2} + 1} \tan^{-1} (4 x)$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{8}{16 x^{2} + 1}$ und $\tan^{-1} (4 x)$ .

$\frac{8 \tan^{-1} (4 x)}{16 x^{2} + 1}$