Analysis Beispiele

$\frac{d^{3}}{d x^{3}} \sin^{3} (x)$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Kettenregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 3

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin^{2} (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 3.4

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $\sin (x)$ .

$3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 3.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin^{3} (x)$ .

$3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 3.5.2

Schreibe $- 1 \sin^{3} (x)$ als $- \sin^{3} (x)$ um.

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Schritt 3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

Schritt 3.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x))$

Schritt 3.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x))$

Schritt 3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

Schritt 3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Schritt 3.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Schritt 3.13.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 3.13.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

Schritt 4

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos^{2} (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 4.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.6

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.6.2

Addiere $2$ und $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin^{3} (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cos^{3} (x) + 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$6 \cos^{3} (x) - 12 (\cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 4.4.2.2

Stelle die Faktoren von $- 12 \cos (x) \sin^{2} (x)$ um.

$6 \cos^{3} (x) - 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 4.4.2.3

Subtrahiere $9 \sin^{2} (x) \cos (x)$ von $- 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$6 \cos^{3} (x) - 21 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 4.4.3

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = - 21 \sin^{2} (x) \cos (x) + 6 \cos^{3} (x)$