Analysis Beispiele

$q = \sin (\frac{t}{\sqrt{t + 9}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = \frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t + 9}$ als ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 9)}^{1}}$

Schritt 5

Vereinfache.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 9}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 9}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 9}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = t + 9$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t + 9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t + 9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 12.3

Bringe ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Schritt 12.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und $t$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 9]}{t + 9}$

Schritt 13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9])}{t + 9}$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [9])}{t + 9}$

Schritt 15

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 9}$

Schritt 16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 9}$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 17

Um ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 18

Kombiniere ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 20

Multipliziere ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.1

Bewege ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} {(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 21

Vereinfache ${(t + 9)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{(t + 9) \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t + 9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Schritt 23

Schreibe $\frac{\frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$ als ein Produkt um.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) (\frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 9})$

Schritt 24

Mutltipliziere $\frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{t + 9}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}} (t + 9)}$

Schritt 25

Potenziere $t + 9$ mit $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 ({(t + 9)}^{1} {(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 27

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 29

Addiere $2$ und $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 30

Vereinfache.

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Schritt 30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 t + 2 \cdot 9 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 30.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 30.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 t + 18 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 30.2.2

Subtrahiere $t$ von $2 t$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{t + 18}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 31

Kombiniere $\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}})$ und $\frac{t + 18}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) (t + 18)}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$