Analysis Beispiele

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.2.4

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.2.5.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $\frac{7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3.5

Kombiniere $\frac{28}{2}$ und $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $28 x^{3}$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.3.6.2.4

Dividiere $14 x^{3}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Da $\frac{71}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{71}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4.5

Kombiniere $\frac{213}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $213$ und $3$ .

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Schritt 2.1.1.4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $213 x^{2}$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.4.6.2.4

Dividiere $71 x^{2}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Da $77$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $77 x^{2}$ nach $x$ gleich $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.1.6

Berechne $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Schritt 2.1.1.6.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120 x$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Schritt 2.1.1.6.3

Mutltipliziere $120$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x^{3}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Da $71$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $71 x^{2}$ nach $x$ gleich $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $71$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Da $154$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $154 x$ nach $x$ gleich $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.4.3

Mutltipliziere $154$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.2.5.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

Schritt 2.1.2.5.2

Addiere $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $42 x^{2}$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $142 x$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $154$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ heraus.

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Schritt 2.2.2.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ heraus.

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

Schritt 2.2.2.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ heraus.

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

Schritt 2.2.2.2.1.3

Setze $- 3.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.2.2.1.3.1

Setze $- 3.5$ in das Polynom ein.

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 2.2.2.2.1.3.2

Potenziere $- 3.5$ mit $3$ .

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 2.2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 42.875$ .

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 2.2.2.2.1.3.4

Potenziere $- 3.5$ mit $2$ .

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 2.2.2.2.1.3.5

Mutltipliziere $21$ mit $12.25$ .

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 2.2.2.2.1.3.6

Addiere $- 85.75$ und $257.25$ .

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 2.2.2.2.1.3.7

Mutltipliziere $71$ mit $- 3.5$ .

$171.5 - 248.5 + 77$

Schritt 2.2.2.2.1.3.8

Subtrahiere $248.5$ von $171.5$ .

$- 77 + 77$

Schritt 2.2.2.2.1.3.9

Addiere $- 77$ und $77$ .

$0$

Schritt 2.2.2.2.1.4

Da $- 3.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 7$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

Schritt 2.2.2.2.1.5

Dividiere $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ durch $2 x + 7$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

Schritt 2.2.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

Schritt 2.2.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Schritt 2.2.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Schritt 2.2.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

Schritt 2.2.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Schritt 2.2.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $14 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Schritt 2.2.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

Schritt 2.2.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $14 x^{2} + 49 x$

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

Schritt 2.2.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

Schritt 2.2.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Schritt 2.2.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $22 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Schritt 2.2.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

Schritt 2.2.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $22 x + 77$

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

Schritt 2.2.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

Schritt 2.2.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 7 x + 11$

Schritt 2.2.2.2.1.6

Schreibe $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ als eine Menge von Faktoren.

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $2 x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Setze $2 x + 7$ gleich $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Löse $2 x + 7 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 7$

Schritt 2.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{2}$

Schritt 2.2.5

Setze $x^{2} + 7 x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $x^{2} + 7 x + 11$ gleich $0$ .

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Löse $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 7$ und $c = 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.3.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $44$ von $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.4.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $44$ von $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.4.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{5}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.2.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.2.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.2.5.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Schritt 2.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $44$ von $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.5.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{5}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.2.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.2.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f'' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$f'' (- 7) = 4 \cdot - 343 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 343$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 \cdot 49 + 142 (- 7) + 154$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $49$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 + 142 (- 7) + 154$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 7$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 - 994 + 154$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 1372$ und $2058$ .

$f'' (- 7) = 686 - 994 + 154$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $994$ von $686$ .

$f'' (- 7) = - 308 + 154$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 308$ und $154$ .

$f'' (- 7) = - 154$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 154$ .

$- 154$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ konkav, weil $f'' (- 7)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 - 568 + 154$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 256$ und $672$ .

$f'' (- 4) = 416 - 568 + 154$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $568$ von $416$ .

$f'' (- 4) = - 152 + 154$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 152$ und $154$ .

$f'' (- 4) = 2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = 4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 - 426 + 154$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 108$ und $378$ .

$f'' (- 3) = 270 - 426 + 154$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $426$ von $270$ .

$f'' (- 3) = - 156 + 154$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $- 156$ und $154$ .

$f'' (- 3) = - 2$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ konkav, weil $f'' (- 3)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 4 {(0)}^{3} + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Schritt 8.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 \cdot 0 + 142 (0) + 154$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 142 (0) + 154$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 154$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 154$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0 + 154$

Schritt 8.2.2.3

Addiere $0$ und $154$ .

$f'' (0) = 154$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $154$ .

$154$

Schritt 8.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 10