Analysis Beispiele

$\frac{x + 5}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x + 5}{x^{2} - 25}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x + 5}{x^{2} - 25}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 5$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

$\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 25$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 25 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x^{2} - 25 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 25 - (x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.7

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 25 - (x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 25 - (x + 5) (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 25 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 25 + (- 2 x - 2 \cdot 5) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 25 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 \cdot 5 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 25 - 10 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} - 10 x - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.5.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 10 (x) - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 5$ plus $- 5$

$\frac{- x^{2} + (- 5 - 5) x - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 5 x - 5 x - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 5 x) - 5 x - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 5) + 5 (- x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 5$ .

$\frac{(- x - 5) (x + 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.6

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.6.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(- x - 5) (x + 5)}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(- x - 5) (x + 5)}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.6.3

Wende die Produktregel auf $(x + 5) (x - 5)$ an.

$\frac{(- x - 5) (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - 5) (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (5)) (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{- (x + 5) (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.4

Schreibe $- (x + 5)$ als $- 1 (x + 5)$ um.

$\frac{- 1 (x + 5) (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.5

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 5)}^{1} (x + 5))}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.6

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 {(x + 5)}^{1 + 1}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 5)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ als ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 5)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 5]) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 5]) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$- (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 5]) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 5]) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$2 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ mit $0$ .

$2 {(x - 5)}^{- 3} + 0$

Schritt 2.1.2.4.7.2

Addiere $2 {(x - 5)}^{- 3}$ und $0$ .

$2 {(x - 5)}^{- 3}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x + 5}{x^{2} - 25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 5}{x^{2} - 25}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 5, - 5}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 5, - 5}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{2}{{((- 8) - 5)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{2}{{(- 13)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 13$ mit $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{2}{- 2197}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 8) = - \frac{2}{2197}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{2197}$ .

$- \frac{2}{2197}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 5)$ konkav, weil $f'' (- 8)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 5, 5)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 5)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 5)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 125}$

Schritt 6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = - \frac{2}{125}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{125}$ .

$- \frac{2}{125}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 5, 5)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 5, 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f'' (8) = \frac{2}{{((8) - 5)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$f'' (8) = \frac{2}{3^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (8) = \frac{2}{27}$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(5, \infty)$ konvex, weil $f'' (8)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konkav im Intervall $(- 5, 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9