Analysis Beispiele

$\frac{x + 10}{x^{2} - 100}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x + 10}{x^{2} - 100}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2} - 100}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 10$ und $g (x) = x^{2} - 100$ .

$\frac{(x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{(x^{2} - 100) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 100) (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 100) (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 100) \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 100$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 100$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100])}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 100])}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.7

Da $- 100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (2 x)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 (x + 10) x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 100 + (- 2 x - 2 \cdot 10) x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 100 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 x^{2} - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 x^{2} - 20 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 100 - 20 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} - 20 x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1.3.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 100 = 100$ und deren Summe gleich $b = - 20$ ist.

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Schritt 2.1.1.3.5.1.1

Faktorisiere $- 20$ aus $- 20 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 20 (x) - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.2

Schreibe $- 20$ um als $- 10$ plus $- 10$

$\frac{- x^{2} + (- 10 - 10) x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 10 x - 10 x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.3.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 10 x) - 10 x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 10) + 10 (- x - 10)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 10$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.3.6.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{(x^{2} - 10^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{((x + 10) (x - 10))}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.6.3

Wende die Produktregel auf $(x + 10) (x - 10)$ an.

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.2

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (10)) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (10)$ heraus.

$\frac{- (x + 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.4

Schreibe $- (x + 10)$ als $- 1 (x + 10)$ um.

$\frac{- 1 (x + 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.5

Potenziere $x + 10$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 10)}^{1} (x + 10))}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.6

Potenziere $x + 10$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 10)}^{1} {(x + 10)}^{1})}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 {(x + 10)}^{1 + 1}}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 10)}^{2}}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 10)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 {(x + 10)}^{2}}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 10)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$ als ${({(x - 10)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 10)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 10)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 10)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 10)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 10$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 10$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 10$ .

$- (- 2 {(x - 10)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 ({(x - 10)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.4

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$ mit $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} + 0$

Schritt 2.1.2.4.7.2

Addiere $2 {(x - 10)}^{- 3}$ und $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 10)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x - 10)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 10)}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{{(x - 10)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 10)}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{{(x - 10)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{{(x - 10)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x + 10}{x^{2} - 100}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 10}{x^{2} - 100}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 100 = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $100$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 100$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{100}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{100}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 10$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 10$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 10$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 10, - 10$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 10) \cup (10, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 10, - 10}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 10) \cup (10, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 10, - 10}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 10) \cup (10, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 10)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{2}{{((- 12) - 10)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $10$ von $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{2}{{(- 22)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 22$ mit $3$ .

$f'' (- 12) = \frac{2}{- 10648}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 10648$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (- 12) = \frac{2 (1)}{- 10648}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10648$ heraus.

$f'' (- 12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5324}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5324}$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 12) = \frac{1}{- 5324}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 12) = - \frac{1}{5324}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{5324}$ .

$- \frac{1}{5324}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 10)$ konkav, weil $f'' (- 12)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 10)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 10, 10)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 10)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $10$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 10)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 10$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1000}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 1000$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 1000}$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1000$ heraus.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 500}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 500}$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{1}{- 500}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = - \frac{1}{500}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{500}$ .

$- \frac{1}{500}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 10, 10)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 10, 10)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(10, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f'' (12) = \frac{2}{{((12) - 10)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $10$ von $12$ .

$f'' (12) = \frac{2}{2^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (12) = \frac{2}{8}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (12) = \frac{2 (1)}{8}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f'' (12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (12) = \frac{1}{4}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(10, \infty)$ konvex, weil $f'' (12)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(10, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 10)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konkav im Intervall $(- 10, 10)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(10, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9