Analysis Beispiele

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Schritt 2.1.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Schritt 5.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Schritt 5.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Schritt 5.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Schritt 5.2.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 2$ und $0$ .

$f'' (0) = - 2 - 2$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f'' (0) = - 4$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6