Analysis Beispiele

$13 e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $13 e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = 13 e^{- x}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Da $13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $13 e^{- x}$ nach $x$ gleich $13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$13 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$13 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$13 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$- 13 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 13 e^{- x} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 13$ mit $1$ .

$f' (x) = - 13 e^{- x}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Da $- 13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 13 e^{- x}$ nach $x$ gleich $- 13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 13 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- 13 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 13$ .

$13 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$13 e^{- x} \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3.4

Mutltipliziere $13$ mit $1$ .

$f'' (x) = 13 e^{- x}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $13 e^{- x}$ .

$13 e^{- x}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $13 e^{- x} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$13 e^{- x} = 0$

Schritt 2.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (13 e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 2.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.2.4

Es gibt keine Lösung für $13 e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Graph ist konvex, da die zweite Ableitung positiv ist.

Der Graph ist konvex

Schritt 5