Analysis Beispiele

$3 \sin (x) + 3 \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $3 \sin (x) + 3 \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = 3 \sin (x) + 3 \cos (x)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \sin (x) + 3 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 \cos (x) + 3 (- \sin (x))$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = 3 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \cos (x) - 3 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.3

Separiere Brüche.

$\frac{- 3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{- 3}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.5

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- 3 \tan (x) + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 \tan (x) + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.6.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.7

Separiere Brüche.

$- 3 \tan (x) - 3 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- 3 \tan (x) - 3 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 2.2.9

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = 0 \sec (x)$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = 0$

Schritt 2.2.11

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \tan (x) = 3$

Schritt 2.2.12

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \tan (x) = 3$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.12.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \tan (x) = 3$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \tan (x)}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Schritt 2.2.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.2.12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \tan (x)}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Schritt 2.2.12.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{3}{- 3}$

Schritt 2.2.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.12.3.1

Dividiere $3$ durch $- 3$ .

$\tan (x) = - 1$

Schritt 2.2.13

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 2.2.14

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.14.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.15

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 2.2.16

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.2.16.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 2.2.16.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.2.17

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.2.17.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.2.17.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.17.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.2.17.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.2.18

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.2.18.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 2.2.18.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.18.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.18.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.18.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.2.18.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.18.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 2.2.18.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 2.2.18.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.2.19

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 3 \sin (0) - 3 \cos (0)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = - 3 \cdot 0 - 3 \cos (0)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cos (0)$

Schritt 5.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f'' (0) = - 3$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6