Analysis Beispiele

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

Schritt 1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ an.

$y = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(3 x - 1)}^{2}$ und $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 + 0) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) \cdot 3 - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.6.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} (2 \cdot (x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 4 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $2 (3 x - 1)$ aus $6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)$ heraus.

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Schritt 3.7.2.1.1

Faktorisiere $2 (3 x - 1)$ aus $6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1)$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2}) - 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.1.2

Faktorisiere $2 (3 x - 1)$ aus $- 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2}) + 2 (3 x - 1) (- 2 (3 x - 1) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.1.3

Faktorisiere $2 (3 x - 1)$ aus $2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2}) + 2 (3 x - 1) (- 2 (3 x - 1) (x^{2} x + 3 x))$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.2.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.7.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{2} x^{1} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{2 + 1} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.2.3.1

Schreibe ${(x^{2} + 3)}^{2}$ als $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ um.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3)) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.2

Multipliziere $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3)) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3)) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.7.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.2.3.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.2.3.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.3.2

Addiere $3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + 6 x^{2} + 9) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 3 (6 x^{2}) + 3 \cdot 9 - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.7.2.3.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 3 \cdot 9 - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 + (- 6 x - 2 \cdot - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 + (- 6 x + 2) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.9

Multipliziere $(- 6 x + 2) (x^{3} + 3 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.2.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x (x^{3} + 3 x) + 2 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x^{3} - 6 x (3 x) + 2 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x^{3} - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.2.3.10.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.2.3.10.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 (x^{3} x) - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.10.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.7.2.3.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 (x^{3} x^{1}) - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{3 + 1} - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.10.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.10.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 \cdot 3 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.10.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.2.3.10.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.10.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 \cdot 3 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.10.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 18 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.3.10.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 18 x^{2} + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 18 x^{2} + 2 x^{3} + 6 x$ .

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Schritt 3.7.2.4.1

Subtrahiere $18 x^{2}$ von $18 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 27 - 6 x^{4} + 0 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.4.2

Addiere $3 x^{4} + 27 - 6 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 27 - 6 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.5

Subtrahiere $6 x^{4}$ von $3 x^{4}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{4} + 27 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.6

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7

Schreibe $- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x + 27$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.7.2.7.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{4} + 27 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{4} + 27$ heraus.

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Schritt 3.7.2.7.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{4}) + 27 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.2.2

Faktorisiere $- 3$ aus $27$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{4}) - 3 (- 9) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.2.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{4}) - 3 (- 9)$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{4} - 9) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 ({(x^{2})}^{2} - 9) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 ({(x^{2})}^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.6

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} + 6 x$ heraus.

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Schritt 3.7.2.7.6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2}) + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.6.2

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (3)$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.7

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2} + 3)$ heraus.

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Schritt 3.7.2.7.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3)) + 2 x (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $2 x (x^{2} + 3)$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3)) + (x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $(x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3)) + (x^{2} + 3) (2 x)$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3) + 2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.2.7.10

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

$\frac{2 (3 x - 1) (x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 2 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + 3$ und ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

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Schritt 3.7.3.1

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $2 (3 x - 1) (x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 2 x + 9)$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 3) (2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 3.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus ${(x^{2} + 3)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 3) (2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 3) (2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 3 x^{2} + 2 x + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- (3 x^{2}) + 2 x + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$\frac{2 (- (3 x^{2} - 2 x) + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.8

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{2 (- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)$ heraus.

$\frac{2 (- (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.10

Schreibe $- (3 x^{2} - 2 x - 9)$ als $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)$ um.

$\frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.12

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ um.

$- \frac{2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1) = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 9 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Setze $3 x^{2} - 2 x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Setze $3 x^{2} - 2 x - 9$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 9 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Löse $3 x^{2} - 2 x - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2.2.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 2$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 9)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

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Schritt 4.2.2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.3

Addiere $4$ und $108$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.4

Schreibe $112$ als $4^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.2.2.2.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $112$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 4.2.2.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{7}}{3}$

Schritt 4.2.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

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Schritt 4.2.2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.4.1.3

Addiere $4$ und $108$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.4.1.4

Schreibe $112$ als $4^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.2.2.2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $112$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 4.2.2.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{7}}{3}$

Schritt 4.2.2.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$

Schritt 4.2.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

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Schritt 4.2.2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.5.1.3

Addiere $4$ und $108$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.5.1.4

Schreibe $112$ als $4^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.2.2.2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $112$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 4.2.2.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{7}}{3}$

Schritt 4.2.2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$

Schritt 4.2.2.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}, \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$

Schritt 4.2.3

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 4.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}, \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}, \frac{1}{3}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ bei $x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(1 + 2 \sqrt{7} - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(0 + 2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $0$ und $2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{7}$ an.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 5.2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$ an.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 + 2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 + 2 \sqrt{7})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe ${(1 + 2 \sqrt{7})}^{2}$ als $(1 + 2 \sqrt{7}) (1 + 2 \sqrt{7})$ um.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{(1 + 2 \sqrt{7}) (1 + 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.4

Multipliziere $(1 + 2 \sqrt{7}) (1 + 2 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 (1 + 2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} (1 + 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} (1 + 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} \cdot 1 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 1 (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} \cdot 1 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.2

Mutltipliziere $2 \sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} \cdot 1 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.5.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.5.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.5.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 28}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.2

Addiere $1$ und $28$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.3

Addiere $2 \sqrt{7}$ und $2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.6

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.2.7

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.2.9

Schreibe $\frac{29 + 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.2.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7} + 27}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.2.9.2

Addiere $29$ und $27$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{56 + 4 \sqrt{7}}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{56 + 4 \sqrt{7}}{9}$ an.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 + 4 \sqrt{7})}^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 5.2.2.11

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 + 4 \sqrt{7})}^{2}}{81}}$

Schritt 5.2.2.12

Schreibe ${(56 + 4 \sqrt{7})}^{2}$ als $(56 + 4 \sqrt{7}) (56 + 4 \sqrt{7})$ um.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{(56 + 4 \sqrt{7}) (56 + 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 5.2.2.13

Multipliziere $(56 + 4 \sqrt{7}) (56 + 4 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 (56 + 4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} (56 + 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 5.2.2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} (56 + 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 5.2.2.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \cdot 56 + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 5.2.2.14

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.14.1.1

Mutltipliziere $56$ mit $56$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 56 (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \cdot 56 + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $56$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \cdot 56 + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.3

Mutltipliziere $56$ mit $4$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.4

Multipliziere $4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.14.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \sqrt{7} \sqrt{7}}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{2}}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.14.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.14.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.1.6

Mutltipliziere $16$ mit $7$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 112}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.2

Addiere $3136$ und $112$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7}}{81}}$

Schritt 5.2.2.14.3

Addiere $224 \sqrt{7}$ und $224 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{81}}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{28}{\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{81}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}})$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ mit $\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}} \cdot \frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{3248 - 448 \sqrt{7}})$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ mit $\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{(3248 + 448 \sqrt{7}) (3248 - 448 \sqrt{7})})$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{10549504 - 1455104 \sqrt{7} + 1455104 \sqrt{7} - 200704 {\sqrt{7}}^{2}})$

Schritt 5.2.8

Vereinfache.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{9144576})$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $28$ .

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $28$ aus $9144576$ heraus.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{28 (326592)})$

Schritt 5.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{28 \cdot 326592})$

Schritt 5.2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{326592}$

Schritt 5.2.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $81$ aus $326592$ heraus.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Schritt 5.2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{4032}$

Schritt 5.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3248 - 448 \sqrt{7}$ und $4032$ .

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Schritt 5.2.11.1

Faktorisiere $112$ aus $3248$ heraus.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) - 448 \sqrt{7}}{4032}$

Schritt 5.2.11.2

Faktorisiere $112$ aus $- 448 \sqrt{7}$ heraus.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) + 112 (- 4 \sqrt{7})}{4032}$

Schritt 5.2.11.3

Faktorisiere $112$ aus $112 (29) + 112 (- 4 \sqrt{7})$ heraus.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 - 4 \sqrt{7})}{4032}$

Schritt 5.2.11.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.11.4.1

Faktorisiere $112$ aus $4032$ heraus.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 - 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Schritt 5.2.11.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 - 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Schritt 5.2.11.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}$

Schritt 5.2.12

Die endgültige Lösung ist $\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}$ .

$\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ bei $x = \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(1 - 2 \sqrt{7} - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(0 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $2 \sqrt{7}$ von $0$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(- 2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.4

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{7}$ an.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(- 2)}^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 6.2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$ an.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe ${(1 - 2 \sqrt{7})}^{2}$ als $(1 - 2 \sqrt{7}) (1 - 2 \sqrt{7})$ um.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{(1 - 2 \sqrt{7}) (1 - 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Multipliziere $(1 - 2 \sqrt{7}) (1 - 2 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 (1 - 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (1 - 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (1 - 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 1 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 1 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 1 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 2 \sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} \cdot 1 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.4

Multipliziere $- 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.5.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.5.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 28}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.2

Addiere $1$ und $28$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.3

Subtrahiere $2 \sqrt{7}$ von $- 2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.6

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Schritt 6.2.2.7

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Schritt 6.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Schritt 6.2.2.9

Schreibe $\frac{29 - 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7} + 27}{9})}^{2}}$

Schritt 6.2.2.9.2

Addiere $29$ und $27$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{56 - 4 \sqrt{7}}{9})}^{2}}$

Schritt 6.2.2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{56 - 4 \sqrt{7}}{9}$ an.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 - 4 \sqrt{7})}^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 6.2.2.11

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 - 4 \sqrt{7})}^{2}}{81}}$

Schritt 6.2.2.12

Schreibe ${(56 - 4 \sqrt{7})}^{2}$ als $(56 - 4 \sqrt{7}) (56 - 4 \sqrt{7})$ um.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{(56 - 4 \sqrt{7}) (56 - 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 6.2.2.13

Multipliziere $(56 - 4 \sqrt{7}) (56 - 4 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 (56 - 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} (56 - 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 6.2.2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (- 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} (56 - 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 6.2.2.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (- 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} \cdot 56 - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 6.2.2.14

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.14.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.14.1.1

Mutltipliziere $56$ mit $56$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 56 (- 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} \cdot 56 - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $56$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} \cdot 56 - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.3

Mutltipliziere $56$ mit $- 4$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.4

Multipliziere $- 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.14.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \sqrt{7} \sqrt{7}}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{2}}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.14.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.14.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.1.6

Mutltipliziere $16$ mit $7$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 112}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.2

Addiere $3136$ und $112$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7}}{81}}$

Schritt 6.2.2.14.3

Subtrahiere $224 \sqrt{7}$ von $- 224 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{81}}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{28}{\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{81}}$

Schritt 6.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}})$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ mit $\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}} \cdot \frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{3248 + 448 \sqrt{7}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ mit $\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{(3248 - 448 \sqrt{7}) (3248 + 448 \sqrt{7})})$

Schritt 6.2.7

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{10549504 + 1455104 \sqrt{7} - 1455104 \sqrt{7} - 200704 {\sqrt{7}}^{2}})$

Schritt 6.2.8

Vereinfache.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{9144576})$

Schritt 6.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $28$ .

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Schritt 6.2.9.1

Faktorisiere $28$ aus $9144576$ heraus.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{28 (326592)})$

Schritt 6.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{28 \cdot 326592})$

Schritt 6.2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{326592}$

Schritt 6.2.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.10.1

Faktorisiere $81$ aus $326592$ heraus.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Schritt 6.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Schritt 6.2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{4032}$

Schritt 6.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3248 + 448 \sqrt{7}$ und $4032$ .

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Schritt 6.2.11.1

Faktorisiere $112$ aus $3248$ heraus.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) + 448 \sqrt{7}}{4032}$

Schritt 6.2.11.2

Faktorisiere $112$ aus $448 \sqrt{7}$ heraus.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) + 112 (4 \sqrt{7})}{4032}$

Schritt 6.2.11.3

Faktorisiere $112$ aus $112 (29) + 112 (4 \sqrt{7})$ heraus.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 + 4 \sqrt{7})}{4032}$

Schritt 6.2.11.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.11.4.1

Faktorisiere $112$ aus $4032$ heraus.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 + 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Schritt 6.2.11.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 + 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Schritt 6.2.11.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}$

Schritt 6.2.12

Die endgültige Lösung ist $\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}$ .

$\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}$

Schritt 7

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ bei $x = \frac{1}{3}$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{{(1 - 1)}^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1^{2}}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{9} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1 + 3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1 + 27}{9})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.7.2

Addiere $1$ und $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{28}{9})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{28}{9}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{\frac{28^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 7.2.2.9

Potenziere $28$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{\frac{784}{9^{2}}}$

Schritt 7.2.2.10

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{\frac{784}{81}}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{3}) = 0 (\frac{81}{784})$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{81}{784}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 8

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ sind $y = \frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}, y = \frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}, y = 0$ .

$y = \frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}, y = \frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}, y = 0$

Schritt 9