Analysis Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 25$ , $(4, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y'$

Schritt 1.2.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x$

Schritt 1.3

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' = - 2 x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - 2 x$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - 2 x$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{y}$

Schritt 1.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 4$ und $y = 3$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$- \frac{4}{y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $3$ .

$- \frac{4}{3}$

Schritt 2

Die Normalenlinie steht senkrecht zur Tangentenlinie. Nehme den negativen Kehrwert der Steigung der Tangentenlinie, um die Steigung der Normalen zu finden.

$\frac{3}{4}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{3}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$y - 3 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - 3 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 3 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 3 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y - 3 = \frac{3 x}{4} - 3$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 3$

Schritt 3.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{3 x}{4} - 3 + 3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 0$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $\frac{3 x}{4}$ und $0$ .

$y = \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{4} x$

Schritt 4