Analysis Beispiele

$f (x) = 7 \sec (\frac{1}{4} π x - \frac{1}{2} π)$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$y = 7 \sec (\frac{1}{4} \cdot (π x) - \frac{1}{2} \cdot π)$

Schritt 2

Entferne die Klammern.

$y = 7 \sec (\frac{1}{4} \cdot (π x) - \frac{1}{2} \cdot π)$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Multipliziere $\frac{1}{4} (π x)$ .

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = 7 \sec (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \cdot π)$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $x$ .

$y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \cdot π)$

Schritt 3.2

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Schritt 4

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ auftritt.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{4} = - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{4} = \frac{- π + π}{2}$

Schritt 5.1.3

Addiere $- π$ und $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.1.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$π x = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze das Innere der Sekansfunktion $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 7.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π + π}{2}$

Schritt 7.1.3

Addiere $3 π$ und $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{4 π}{2}$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 (2 π)}{2}$

Schritt 7.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

Schritt 7.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π}{1}$

Schritt 7.1.4.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$\frac{π x}{4} = 2 π$

Schritt 7.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (2 π)$

Schritt 7.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (2 π)$

Schritt 7.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (2 π)$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (2 π)$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (2 π)$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} (2 π)$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.3.2.1.1.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Schritt 7.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Schritt 7.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 \cdot 2$

Schritt 7.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = 8$

Schritt 8

Die fundamentale Periode für $y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ tritt auf bei $(0, 8)$ , wobei $0$ und $8$ vertikale Asymptoten sind.

$(0, 8)$

Schritt 9

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 9.1

$\frac{π}{4}$ ist ungefähr $0.78539816$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{π}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 4$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8$

Schritt 10

Die vertikalen Asymptoten für $y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ treten auf bei $0$ , $8$ und jedem $x = 0 + 4 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = 0 + 4 n$

Schritt 11

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 0 + 4 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 12