Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos (x))}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(1 - e^{x})}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{{(1 - lim_{x \to 0} e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.3.1.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{{(1 - e^{lim_{x \to 0} x})}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{{(1 - e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos (x))}{{(1 - e^{x})}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 - e^{x}$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 u \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Schritt 3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Schritt 3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Schritt 3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 (1 - e^{x}) e^{x}}$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{(- 2 \cdot 1 - 2 (- e^{x})) e^{x}}$

Schritt 3.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (- e^{x}) e^{x}}$

Schritt 3.13.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.13.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} - 2 (- e^{x}) e^{x}}$

Schritt 3.13.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}}$

Schritt 3.13.3.3

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.3.3.1

Bewege $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})}$

Schritt 3.13.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} + 2 e^{x + x}}$

Schritt 3.13.3.3.3

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} + 2 e^{2 x}}$

Schritt 3.13.4

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Schritt 4.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Schritt 4.1.3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Schritt 4.1.3.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Schritt 4.1.3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Schritt 4.1.3.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 4.1.3.6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 4.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 4.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{0}}$

Schritt 4.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{2 e^{0} - 2 e^{0}}$

Schritt 4.1.3.8.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 2 e^{0}}$

Schritt 4.1.3.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{0}{2 - 2 e^{0}}$

Schritt 4.1.3.8.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.8.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 4.1.3.8.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.8.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 e^{2 x} - 2 e^{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{2 x} - 2 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Schritt 4.3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.4.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Schritt 4.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

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Schritt 4.3.5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 e^{2 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 4.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Schritt 5.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Schritt 5.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Schritt 5.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Schritt 5.7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 5.8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{0}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{0}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{4 e^{0} - 2 e^{0}}$

Schritt 7.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 1 - 2 e^{0}}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 - 2 e^{0}}$

Schritt 7.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{4 - 2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 - 2}$

Schritt 7.2.6

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{1}{2}$