Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $3$ mit $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.8.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.8.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

Schritt 3.12

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{5 \cdot \cos (5 x)}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $5$ mit $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{5 \cos (5 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{3}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\cos (5 x)}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Schritt 9

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 11.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 11.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{5} \cdot 1$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$\frac{3}{5}$