Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 10 x - 1}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Schritt 1.3

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 10 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.6

Addiere $18 x + 10$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{2} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 3.9.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \cdot 1}$

Schritt 3.9.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Schritt 5.1.2

Dividiere $18$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $16$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 + \frac{- 5}{x}}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 - \frac{5}{x}}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $18$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Schritt 5.6

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{18 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 7.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 \cdot 0}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18 + 10 \cdot 0$ und $16 - 5 \cdot 0$ .

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Schritt 9.1.1

Schreibe $16$ als $- 1 (- 16)$ um.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - 5 \cdot 0}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 \cdot 0$ heraus.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 5 \cdot 0)}$

Schritt 9.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Schritt 9.1.5

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 (9) + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Schritt 9.1.6

Faktorisiere $2$ aus $10 \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (9) + 2 (5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Schritt 9.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (9) + 2 (5 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Schritt 9.1.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Schritt 9.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Schritt 9.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 + 5 \cdot 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{9 + 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Schritt 9.2.2

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0)}$

Schritt 9.3.2

Addiere $- 8$ und $0$ .

$\frac{9}{- 1 \cdot - 8}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{9}{8}$