Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2} + x^{4}}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} + x^{4}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{4}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} \cdot (1 + x^{2})}$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (1 + x^{2})}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x^{2} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.1.2

Dividiere $A (1 + x^{2})$ durch $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $B (x^{2} (1 + x^{2}))$ heraus.

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x (1 + x^{2}))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.4.2.5

Dividiere $B (x (1 + x^{2}))$ durch $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x (1 + x^{2})) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{1 + 2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{3}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 1.6.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.6.9.2

Dividiere $(C x + D) (x^{2})$ durch $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + (C x + D) (x^{2})$

Schritt 1.6.10

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Schritt 1.6.11

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.11.1

Bewege $x^{2}$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Schritt 1.6.11.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.6.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Schritt 1.6.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Schritt 1.6.11.3

Addiere $2$ und $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.1

Stelle $B$ und $x^{3}$ um.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Schritt 1.7.2

Bewege $A$ .

$1 = A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + A$

Schritt 1.7.3

Bewege $B x$ .

$1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + B x + A$

Schritt 1.7.4

Bewege $A x^{2}$ .

$1 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + B x + A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B + C$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + D$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B$

Schritt 2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $B = 0$ um.

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$1 = A$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $B$ in $0 = B + C$ durch $0$ .

$0 = (0) + C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $C$ .

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Schritt 3.2.3

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = A + D$

Schritt 3.3.2

Ersetze alle $A$ in $0 = A + D$ durch $1$ .

$0 = (1) + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Entferne die Klammern.

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Schritt 3.4

Löse in $0 = 1 + D$ nach $D$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + D = 0$ um.

$1 + D = 0$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$D = - 1 C = 0 A = 1 B = 0$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$D = - 1, C = 0, A = 1, B = 0$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 x - 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 - 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- 1}{1 + x^{2}}$