Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - 4 \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 4 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 - 4 \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 4 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - 4 (- \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$0 + 4 \sin (x)$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $4 \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x)$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 \cos (x)$ .

$4 \cos (x)$