Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{2} - 11 x - \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 11 x - \frac{8}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$10 x - 11 + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$10 x - 11 - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$10 x - 11 - 8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$10 x - 11 - 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$10 x - 11 - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$10 x - 11 - 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$10 x - 11 - 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 1.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 x - 11 - 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$10 x - 11 - 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 1.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$10 x - 11 - 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 1.4.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$10 x - 11 - 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 1.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 x - 11 - 8 (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 1.4.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$10 x - 11 - 8 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 1.4.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$10 x - 11 + 24 x^{- 4}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x - 11 + 24 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $24$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$10 x - 11 + \frac{24}{x^{4}}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 10 x + \frac{24}{x^{4}} - 11$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x + \frac{24}{x^{4}} - 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{4}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{24}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$10 + 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$10 + 24 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$10 + 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$10 + 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$10 + 24 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 + 24 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 + 24 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$10 + 24 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$10 + 24 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$10 + 24 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 + 24 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$10 + 24 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $24$ .

$10 - 96 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.4

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 - 96 x^{- 5} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 - 96 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 96$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$10 + \frac{- 96}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 - \frac{96}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.5.2.3

Addiere $10 - \frac{96}{x^{5}}$ und $0$ .

$10 - \frac{96}{x^{5}}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{96}{x^{5}} + 10$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{96}{x^{5}} + 10$ .

$- \frac{96}{x^{5}} + 10$