Analysis Beispiele

$g (t) = \frac{4}{5 t^{6}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{5 t^{6}}$ nach $t$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{6}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{6}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{t^{6}}$ als ${(t^{6})}^{- 1}$ um.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d t} [{(t^{6})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{6})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d t} [t^{6 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d t} [t^{- 6}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 6$ .

$\frac{4}{5} (- 6 t^{- 7})$

Schritt 1.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{5} t^{- 7}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$\frac{- 24}{5} t^{- 7}$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $\frac{- 24}{5}$ und $t^{- 7}$ .

$\frac{- 24 t^{- 7}}{5}$

Schritt 1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.4.1

Bringe $t^{- 7}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 24}{5 t^{7}}$

Schritt 1.4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (t) = - \frac{24}{5 t^{7}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{24}{5}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{24}{5 t^{7}}$ nach $t$ gleich $- \frac{24}{5} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{7}}]$ .

$- \frac{24}{5} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{7}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{t^{7}}$ als ${(t^{7})}^{- 1}$ um.

$- \frac{24}{5} \frac{d}{d t} [{(t^{7})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{7})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{24}{5} \frac{d}{d t} [t^{7 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- \frac{24}{5} \frac{d}{d t} [t^{- 7}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 7$ .

$- \frac{24}{5} (- 7 t^{- 8})$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$7 (\frac{24}{5}) t^{- 8}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $7$ und $\frac{24}{5}$ .

$\frac{7 \cdot 24}{5} t^{- 8}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $7$ mit $24$ .

$\frac{168}{5} t^{- 8}$

Schritt 2.4.4

Kombiniere $\frac{168}{5}$ und $t^{- 8}$ .

$\frac{168 t^{- 8}}{5}$

Schritt 2.4.5

Bringe $t^{- 8}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = \frac{168}{5 t^{8}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $g (t)$ nach $t$ ist $\frac{168}{5 t^{8}}$ .

$\frac{168}{5 t^{8}}$