Analysis Beispiele

$f (u) = \frac{u}{u^{2} + 6}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = u$ und $g (u) = u^{2} + 6$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $u^{2} + 6$ mit $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{2} + 6$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $6$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2 u$ und $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.7

Subtrahiere $2 u^{2}$ von $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$\frac{- (u^{2}) + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.8.2

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{- (u^{2}) - 1 (- 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - 1 (- 6)$ heraus.

$\frac{- (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.8.4

Schreibe $- (u^{2} - 6)$ als $- 1 (u^{2} - 6)$ um.

$\frac{- 1 (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (u) = - \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ gleich $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ ist mit $f (u) = - 1$ und $g (u) = \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d u} [\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}] + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.2

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{2} - 6$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.3.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + 0) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $2 u$ und $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(u^{2} + 6)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = u^{2}$ und $g (u) = u^{2} + 6$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 u_{1} \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 (u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{2} + 6$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.5.4

Da $6$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + 0))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.5.1

Addiere $2 u$ und $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.5.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) (2 \cdot (u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.5.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Schritt 2.5.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ mit $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + 0$

Schritt 2.5.7.2

Addiere $- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$ und $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1.1

Schreibe ${(u^{2} + 6)}^{2}$ als $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ um.

$- \frac{2 ((u^{2} + 6) (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.2

Multipliziere $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (u^{2} (u^{2} + 6) + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1.3.1.1

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 (u^{2 + 2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{2 (u^{4} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.3.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 \cdot u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 u^{2} + 6 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.3.2

Addiere $6 u^{2}$ und $6 u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 12 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(2 u^{4} + 2 (12 u^{2}) + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.6.3.1.5.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 72) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 u^{4} u + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.6.3.1.7.1

Multipliziere $u^{4}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1.7.1.1

Bewege $u$ .

$- \frac{2 (u \cdot u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.7.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u^{4}$ .

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Schritt 2.6.3.1.7.1.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \frac{2 (u^{1} u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 u^{1 + 4} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.7.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1.7.2.1

Bewege $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u \cdot u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.7.2.2

Mutltipliziere $u$ mit $u^{2}$ .

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Schritt 2.6.3.1.7.2.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u^{1} u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{1 + 2} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.9

Multipliziere $u^{2}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1.9.1

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $u$ .

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Schritt 2.6.3.1.9.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u^{1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2 + 1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.9.2

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.10

Multipliziere $(- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.3.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} (u^{3} + 6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.3.1.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1.11.1.1

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1.11.1.1.1

Bewege $u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 (u^{3} u^{2}) - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{3 + 2} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{2} u + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.1.3

Multipliziere $u^{2}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1.11.1.3.1

Bewege $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u \cdot u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.1.3.2

Mutltipliziere $u$ mit $u^{2}$ .

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Schritt 2.6.3.1.11.1.3.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u^{1} u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{1 + 2} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $24$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.2

Addiere $- 24 u^{3}$ und $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 0 + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.1.11.3

Addiere $- 4 u^{5}$ und $0$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.2

Subtrahiere $4 u^{5}$ von $2 u^{5}$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.3

Addiere $72 u$ und $144 u$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.4.1

Faktorisiere $2 u$ aus $- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u$ heraus.

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Schritt 2.6.4.1.1

Faktorisiere $2 u$ aus $- 2 u^{5}$ heraus.

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.1.2

Faktorisiere $2 u$ aus $24 u^{3}$ heraus.

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.1.3

Faktorisiere $2 u$ aus $216 u$ heraus.

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.1.4

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2})$ heraus.

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.1.5

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)$ heraus.

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.2

Schreibe $u^{4}$ als ${(u^{2})}^{2}$ um.

$- \frac{2 u (- {(u^{2})}^{2} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.3

Es sei $u = u^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.6.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 108 = - 108$ und deren Summe gleich $b = 12$ ist.

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Schritt 2.6.4.4.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 u$ heraus.

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 (u) + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.4.1.2

Schreibe $12$ um als $- 6$ plus $18$

$- \frac{2 u (- u^{2} + (- 6 + 18) u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6 u + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.6.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \frac{2 u ((- u^{2} - 6 u) + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- \frac{2 u (u (- u - 6) - 18 (- u - 6))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 6$ .

$- \frac{2 u ((- u - 6) (u - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.4.5

Ersetze alle $u$ durch $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- u^{2} - 6$ und ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

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Schritt 2.6.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.5.2

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 1 (6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - 1 (6)$ heraus.

$- \frac{2 u (- (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.5.4

Schreibe $- (u^{2} + 6)$ als $- 1 (u^{2} + 6)$ um.

$- \frac{2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.5.5

Faktorisiere $u^{2} + 6$ aus $2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)$ heraus.

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 2.6.5.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.5.6.1

Faktorisiere $u^{2} + 6$ aus ${(u^{2} + 6)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.6.5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.6.5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{- 2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.6.8

Multipliziere $- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

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Schritt 2.6.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.6.8.2

Mutltipliziere $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (u) = \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (u)$ nach $u$ ist $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

$\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$