Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{e^{x} - 2}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3}{e^{x} - 2}$ nicht definiert ist.

$x = \ln (2)$

Schritt 2

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{3}{e^{x} - 2}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} - 2}$

Schritt 2.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{x} - 2}$ $0$ .

$3 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{3}{e^{x} - 2}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{x} - 2}$

Schritt 3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 2}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 2}$

Schritt 3.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 3.2

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$3 \frac{1}{0 - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.3.1

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 \frac{1}{0 - 2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$3 (\frac{1}{- 2})$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.3.2.3

Multipliziere $3 (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.3.2.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2}$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0, - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = \ln (2)$

Horizontale Asymptoten: $y = 0, - \frac{3}{2}$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7