Analysis Beispiele

$y = 2 - 2 x^{2}$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = - 2 x^{2} + 2$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(- 2 x^{2} + 2)}^{2}$ als $(- 2 x^{2} + 2) (- 2 x^{2} + 2)$ um.

$V = (- 2 x^{2} + 2) (- 2 x^{2} + 2)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(- 2 x^{2} + 2) (- 2 x^{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - 2 x^{2} (- 2 x^{2} + 2) + 2 (- 2 x^{2} + 2)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - 2 x^{2} (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2} + 2)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - 2 x^{2} (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = - 2 \cdot (- 2 x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$V = - 2 \cdot (- 2 (x^{2} x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = - 2 \cdot (- 2 x^{2 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$V = - 2 \cdot (- 2 x^{4}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$V = 4 x^{4} - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$V = 4 x^{4} - 4 x^{2} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$V = 4 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = 4 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$V = 4 x^{4} - 8 x^{2} + 4$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{- 1}^{1} 4 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 8 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$V = π (4 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 8 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 8 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 8 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Schritt 7

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 8 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π (4 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1})$

Schritt 11.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π (4 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 1}^{1})$

Schritt 11.3

Berechne $4 x$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π (4 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (4 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$V = π (4 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (4 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$V = π (4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (4 (\frac{1 + 1}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$V = π (4 (\frac{2}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.8

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{5}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 2}{5} - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.9

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.14

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{8}{5} - 8 \frac{1 + 1}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.16

Addiere $1$ und $1$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{2}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.17

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{8}{5} + \frac{- 8 \cdot 2}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.18

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$V = π (\frac{8}{5} + \frac{- 16}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{8}{5} - \frac{16}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.20

Um $\frac{8}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.21

Um $- \frac{16}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.22

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.4.22.1

Mutltipliziere $\frac{8}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.22.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 3}{15} - \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.22.3

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.22.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{8 \cdot 3 - 16 \cdot 5}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.24.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$V = π (\frac{24 - 16 \cdot 5}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.24.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$V = π (\frac{24 - 80}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.24.3

Subtrahiere $80$ von $24$ .

$V = π (\frac{- 56}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (- \frac{56}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.26

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + 4 - 4 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.27

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + 4 + 4)$

Schritt 11.4.28

Addiere $4$ und $4$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + 8)$

Schritt 11.4.29

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + 8 \cdot \frac{15}{15})$

Schritt 11.4.30

Kombiniere $8$ und $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + \frac{8 \cdot 15}{15})$

Schritt 11.4.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{- 56 + 8 \cdot 15}{15})$

Schritt 11.4.32

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.32.1

Mutltipliziere $8$ mit $15$ .

$V = π (\frac{- 56 + 120}{15})$

Schritt 11.4.32.2

Addiere $- 56$ und $120$ .

$V = π (\frac{64}{15})$

Schritt 11.4.33

Kombiniere $π$ und $\frac{64}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 64}{15}$

Schritt 11.4.34

Bringe $64$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{64 π}{15}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{64 π}{15}$

Dezimalform:

$V = 13.40412865 \dots$

Schritt 13