Analysis Beispiele

$y = 1 - 9 x^{2}$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = - 9 x^{2} + 1$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(- 9 x^{2} + 1)}^{2}$ als $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ um.

$V = (- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2} + 1) + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2} x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 (x^{2} x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{4}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 9 x^{2}$ mit $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $- 9 x^{2}$ .

$V = 81 x^{4} - 18 x^{2} + 1$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} 81 x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Schritt 4

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $81$ aus dem Integral.

$V = π (81 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Schritt 7

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 18$ aus dem Integral.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $0.\overline{3}$ und $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 ((\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5}) - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Schritt 11.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $0.\overline{3}$ und $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Schritt 11.3

Berechne $x$ bei $0.\overline{3}$ und $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.2

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{- 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + 1 (\frac{0.00411522}{5})) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.5

Mutltipliziere $\frac{0.00411522}{5}$ mit $1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (81 (\frac{0.00411522 + 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.7

Addiere $0.00411522$ und $0.00411522$ .

$V = π (81 (\frac{0.00823045}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.8

Kombiniere $81$ und $\frac{0.00823045}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 0.00823045}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.9

Mutltipliziere $81$ mit $0.00823045$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.10

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.11

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{- 0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + 1 (\frac{0.03703703}{3})) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.14

Mutltipliziere $\frac{0.03703703}{3}$ mit $1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 \frac{0.03703703 + 0.03703703}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.16

Addiere $0.03703703$ und $0.03703703$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.07407407}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.17

Kombiniere $- 18$ und $\frac{0.07407407}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 18 \cdot 0.07407407}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.18

Mutltipliziere $- 18$ mit $0.07407407$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.20

Um $\frac{0.66666666}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.21

Um $- \frac{1.33333333}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.22

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.4.22.1

Mutltipliziere $\frac{0.66666666}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.22.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.22.3

Mutltipliziere $\frac{1.33333333}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.22.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.24

Mutltipliziere $0.66666666$ mit $3$ .

$V = π (\frac{2 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.25

Mutltipliziere $- 1.33333333$ mit $5$ .

$V = π (\frac{2 - 6.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.26

Subtrahiere $6.66666666$ von $2$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.27

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Schritt 11.4.28

Addiere $0.\overline{3}$ und $0.\overline{3}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6})$

Schritt 11.4.29

Um $0.\overline{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6} \cdot \frac{15}{15})$

Schritt 11.4.30

Kombiniere $0.\overline{6}$ und $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + \frac{0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

Schritt 11.4.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

Schritt 11.4.32

Mutltipliziere $0.\overline{6}$ mit $15$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 10}{15})$

Schritt 11.4.33

Addiere $- 4.66666666$ und $10$ .

$V = π (\frac{5.33333333}{15})$

Schritt 11.4.34

Kombiniere $π$ und $\frac{5.33333333}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 5.33333333}{15}$

Schritt 11.4.35

Mutltipliziere $π$ mit $5.33333333$ .

$V = \frac{16.75516081}{15}$

Schritt 12

Dividiere $16.75516081$ durch $15$ .

$V = 1.11701072$

Schritt 13