Analysis Beispiele

$y = x^{2}$ , $y = 1$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = 1$ und $g (x) = x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = 1 - {(x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 1 - x^{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = 1 - x^{4}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{4} d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{4} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (x]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{4} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (x]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (x]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Berechne $x$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π ((1) + 1 - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π (1 + 1 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$V = π (2 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Schritt 7.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (2 - (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Schritt 7.2.3.3

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$V = π (2 - (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}))$

Schritt 7.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (2 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}))$

Schritt 7.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (2 - (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

Schritt 7.2.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$V = π (2 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}))$

Schritt 7.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (2 - \frac{1 + 1}{5})$

Schritt 7.2.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$V = π (2 - \frac{2}{5})$

Schritt 7.2.3.9

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5})$

Schritt 7.2.3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5})$

Schritt 7.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{2 \cdot 5 - 2}{5})$

Schritt 7.2.3.12

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$V = π (\frac{10 - 2}{5})$

Schritt 7.2.3.12.2

Subtrahiere $2$ von $10$ .

$V = π (\frac{8}{5})$

Schritt 7.2.3.13

Kombiniere $π$ und $\frac{8}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 8}{5}$

Schritt 7.2.3.14

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{8 π}{5}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{8 π}{5}$

Dezimalform:

$V = 5.02654824 \dots$

Schritt 9