Analysis Beispiele

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{3 π}{4}$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 1.2

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{3 π}{4}$ .

$\sec^{2} (\frac{3 π}{4})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

${(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2}$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2}$

Schritt 1.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Schritt 1.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 1.3.5.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

${(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 1.3.6.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 1.3.6.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 1.3.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 1.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1}$

Schritt 1.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{3 π}{4}, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = 2 \cdot (x - (\frac{3 π}{4}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 1 = 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = 2 x + 2 (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 π}{4}$ in den Zähler.

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{4}$

Schritt 2.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{2 (2)}$

Schritt 2.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y + 1 = 2 x + \frac{- 3 π}{2}$

Schritt 2.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 1 = 2 x - \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} - 1$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 2 x + \frac{- 3 π - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 2 x + \frac{- 3 π - 2}{2}$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 π$ heraus.

$y = 2 x + \frac{- (3 π) - 2}{2}$

Schritt 2.3.3.6

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = 2 x + \frac{- (3 π) - 1 (2)}{2}$

Schritt 2.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 π) - 1 (2)$ heraus.

$y = 2 x + \frac{- (3 π + 2)}{2}$

Schritt 2.3.3.8

Schreibe $- (3 π + 2)$ als $- 1 (3 π + 2)$ um.

$y = 2 x + \frac{- 1 (3 π + 2)}{2}$

Schritt 2.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 2 x - \frac{3 π + 2}{2}$

Schritt 3