Analysis Beispiele

$\cos (4 y) = x$ , $(0, \frac{π}{8})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = \frac{π}{8}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 y$ .

$- \sin (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \sin (4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 4 \sin (4 y) y'$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 4 \sin (4 y) y' = 1$

Schritt 1.5

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ durch $- 4 \sin (4 y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ durch $- 4 \sin (4 y)$ .

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Schritt 1.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (4 y)$ .

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Schritt 1.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{\sin (4 y)}$

Schritt 1.5.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (4 y)}$ nach $\csc (4 y)$ um.

$y' = \frac{1}{- 4} \csc (4 y)$

Schritt 1.5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{4} \csc (4 y)$

Schritt 1.5.3.4

Kombiniere $\csc (4 y)$ und $\frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 0$ und $y = \frac{π}{8}$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$- \frac{\csc (4 y)}{4}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $\frac{π}{8}$ .

$- \frac{\csc (4 (\frac{π}{8}))}{4}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.7.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 (2)})}{4}$

Schritt 1.7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2})}{4}$

Schritt 1.7.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\csc (\frac{π}{2})}{4}$

Schritt 1.7.3.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(0, \frac{π}{8})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{π}{8}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{x}{4}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{π}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{π}{8}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{π}{8}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{π}{8}$

Schritt 3