Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} - 9 x + 1)$ , $(9, 0)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{2} - 9 x + 1)$ als Gleichung.

$y = \ln (x^{2} - 9 x + 1)$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 9$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 9 x + 1$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x + 1]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x + 1]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1} (2 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1} (2 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1} (2 x - 9 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1} (2 x - 9 + 0)$

Schritt 2.2.7

Addiere $2 x - 9$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1} (2 x - 9)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1} (2 x - 9)$ um.

$(2 x - 9) \frac{1}{x^{2} - 9 x + 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2 x - 9$ mit $\frac{1}{x^{2} - 9 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 9}{x^{2} - 9 x + 1}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 9$ .

$\frac{2 (9) - 9}{{(9)}^{2} - 9 \cdot 9 + 1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18 - 9}{9^{2} - 9 \cdot 9 + 1}$

Schritt 2.5.1.2

Subtrahiere $9$ von $18$ .

$\frac{9}{9^{2} - 9 \cdot 9 + 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{9}{81 - 9 \cdot 9 + 1}$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$\frac{9}{81 - 81 + 1}$

Schritt 2.5.2.3

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$\frac{9}{0 + 1}$

Schritt 2.5.2.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{9}{1}$

Schritt 2.5.3

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $9$ und einen gegebenen Punkt $(9, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 9 \cdot (x - (9))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 9 \cdot (x - 9)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 9 \cdot (x - 9)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $9 \cdot (x - 9)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 9 x + 9 \cdot - 9$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

$y = 9 x - 81$

Schritt 4