Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ ; $[1, 8]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 8]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ bei $8$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.7.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Schritt 7.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4})$

Schritt 7.2.10

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Schritt 7.2.11

Kombiniere $12$ und $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Schritt 7.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4 - 3}{4})$

Schritt 7.2.13

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.13.1

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48 - 3}{4})$

Schritt 7.2.13.2

Subtrahiere $3$ von $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{45}{4})$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Schritt 9

Multipliziere $\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{45}{4}$ .

$A (x) = \frac{45}{7 \cdot 4}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{45}{28}$

Schritt 10