Analysis Beispiele

$4 x^{3} - 2 x \sqrt{5} - 6 x$

Schritt 1

Setze $4 x^{3} - 2 x \sqrt{5} - 6 x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 2 x \sqrt{5} - 6 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3} - 2 x \sqrt{5} - 6 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) - 2 x \sqrt{5} - 6 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x \sqrt{5}$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 1 \sqrt{5}) - 6 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 1 \sqrt{5}) + 2 x (- 3) = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 1 \sqrt{5})$ heraus.

$2 x (2 x^{2} - 1 \sqrt{5}) + 2 x (- 3) = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2} - 1 \sqrt{5}) + 2 x (- 3)$ heraus.

$2 x (2 x^{2} - 1 \sqrt{5} - 3) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 1 \sqrt{5}$ als $- \sqrt{5}$ um.

$2 x (2 x^{2} - \sqrt{5} - 3) = 0$

Schritt 2.1.3

Stelle die Terme um.

$2 x (2 x^{2} - 3 - \sqrt{5}) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 - \sqrt{5} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x^{2} - 3 - \sqrt{5}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x^{2} - 3 - \sqrt{5}$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 3 - \sqrt{5} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x^{2} - 3 - \sqrt{5} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - \sqrt{5} = 3$

Schritt 2.4.2.1.2

Addiere $\sqrt{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 3 + \sqrt{5}$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 3 + \sqrt{5}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 3 + \sqrt{5}$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$ .

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Schritt 2.4.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$

Schritt 2.4.2.4.2

Schreibe $\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$ als $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.4.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}, - \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (2 x^{2} - 3 - \sqrt{5}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}, - \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}, - \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Dezimalform:

$x = 0, 1.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots$

Schritt 4