Analysis Beispiele

$| 2 x - 1 |$

Schritt 1

Schreibe $| 2 x - 1 |$ als Funktion.

$f (x) = | 2 x - 1 |$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int | 2 x - 1 | d x$

Schritt 4

Setze das Argument im Absolutwert gleich $0$ , um die potentiellen Werte zu finden, bei denen die Lösung geteilt werden könnte.

$2 x - 1 = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Bilde Intervalle in der Umgebung der Lösungen, um zu ermitteln, wo $2 x - 1$ positiv bzw. negativ ist.

$(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus jedem Intervall in $2 x - 1$ ein, um herauszufinden, wo der Ausdruck positv oder negativ ist.

$\begin{array}{c} Intervall & Vorzeichen im Intervall \\ (- \infty, \frac{1}{2}) & - \\ (\frac{1}{2}, \infty) & + \end{array}$

Schritt 8

Integriere das Argument des Absolutwerts.

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Schritt 8.1

Stelle das Integral mit dem Argument des Absolutwerts auf.

$\int 2 x - 1 d x$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 8.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Schritt 8.5

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Schritt 8.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$x^{2} - x + C$

Schritt 9

Multipliziere die Lösung des Integrals mit $- 1$ in den Intervallen, in denen das Argument negativ ist.

${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = | 2 x - 1 |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$