Analysis Beispiele

$\tan^{3} (θ)$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{3} (θ)$ als Funktion.

$f (θ) = \tan^{3} (θ)$

Schritt 2

Die Funktion $F (θ)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (θ)$ ermittelt wird.

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (θ) = \int \tan^{3} (θ) d θ$

Schritt 4

Faktorisiere $\tan^{2} (θ)$ aus.

$\int \tan^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Schritt 5

Schreibe $\tan^{2} (θ)$ in $- 1 + \sec^{2} (θ)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (- 1 + \sec^{2} (θ)) \tan (θ) d θ$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int - 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Schritt 9

Das Integral von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Schritt 10

Sei $u = \sec (θ)$ . Dann ist $d u = \sec (θ) \tan (θ) d θ$ , folglich $\frac{1}{\sec (θ) \tan (θ)} d u = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = \sec (θ)$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $\sec (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Schritt 10.1.2

Die Ableitung von $\sec (θ)$ nach $θ$ ist $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ)$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int u d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $\sec (θ)$ .

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (θ) = \tan^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$