Analysis Beispiele

$\frac{4}{x^{- 1}} + \frac{3}{x^{- 2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{4}{x^{- 1}} + \frac{3}{x^{- 2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{4}{x^{- 1}} + \frac{3}{x^{- 2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{- 1}} + \frac{3}{x^{- 2}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int 4 x + \frac{3}{x^{- 2}} d x$

Schritt 4.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int 4 x + 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 \int x^{2} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$4 (\frac{1}{2}) x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 10.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 10.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 10.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 10.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 10.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 10.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + 1 x^{3} + C$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x^{3} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{4}{x^{- 1}} + \frac{3}{x^{- 2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{2} + x^{3} + C$