Analysis Beispiele

$(1 + 3 x) x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $(1 + 3 x) x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = (1 + 3 x) x^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (1 + 3 x) x^{2} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(1 + 3 x) x^{2}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 x^{2} + 3 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 3 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 3 (x^{1} x^{2}) d x$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2} + 3 x^{1 + 2} d x$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int x^{2} + 3 x^{3} d x$

Schritt 4.6

Stelle $x^{2}$ und $3 x^{3}$ um.

$\int 3 x^{3} + x^{2} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\frac{3 x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (1 + 3 x) x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$