Analysis Beispiele

$75 e^{- \frac{x}{50}}$

Schritt 1

Schreibe $75 e^{- \frac{x}{50}}$ als Funktion.

$f (x) = 75 e^{- \frac{x}{50}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 75 e^{- \frac{x}{50}} d x$

Schritt 4

Da $75$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $75$ aus dem Integral.

$75 \int e^{- \frac{x}{50}} d x$

Schritt 5

Sei $u = - \frac{x}{50}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{50} d x$ , folglich $- 50 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - \frac{x}{50}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- \frac{x}{50}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{50}]$

Schritt 5.1.2

Da $- \frac{1}{50}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{50}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{50} \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{50}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$75 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{50}} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$75 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{50}} d u$

Schritt 6.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{50}$ zu dividieren.

$75 \int - e^{u} (1 \cdot 50) d u$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $50$ mit $1$ .

$75 \int - e^{u} \cdot 50 d u$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $50$ mit $- 1$ .

$75 \int - 50 e^{u} d u$

Schritt 7

Da $- 50$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 50$ aus dem Integral.

$75 (- 50 \int e^{u} d u)$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 50$ mit $75$ .

$- 3750 \int e^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 3750 (e^{u} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$- 3750 e^{u} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{50}$ .

$- 3750 e^{- \frac{x}{50}} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$- 3750 e^{- \frac{1}{50} x} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 75 e^{- \frac{x}{50}}$ .

$F (x) =$ $- 3750 e^{- \frac{1}{50} x} + C$