Analysis Beispiele

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Schritt 5.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6

Multipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $\sec^{2} (t)$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (t)$ mit $\sec (t)$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Schritt 6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Schritt 7

Faktorisiere $\tan^{2} (t)$ aus.

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Schritt 8

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Schritt 9

Sei $u = \sec (t)$ . Dann ist $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = \sec (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Schritt 9.1.2

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 10

Multipliziere $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe $- 1 u^{2}$ als $- u^{2}$ um.

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 11.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 11.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 16.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $u$ durch $\sec (t)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t) + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$