Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ als ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{3} + 8 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 1.1.10

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Schritt 1.1.12

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$

Schritt 1.1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.1.13.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$ um.

$(3 x^{2} + 8) \frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.13.2

Mutltipliziere $3 x^{2} + 8$ mit $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 8$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 8$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 8$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{8}{3}$

Schritt 2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{8}{3}}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{8}{3}}$

Schritt 2.3.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{8}{3}}$ als $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.4.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.4.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm i \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.5

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 2.3.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.4.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Schritt 2.3.4.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.4.8.1

Kombiniere $i$ und $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{6})}{3}$

Schritt 2.3.4.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{{(x^{3} + 8 x)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x^{3} + 8 x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x^{3} + 8 x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ als ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x^{3} + 8 x) = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} + 4 (8 x) = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} + 32 x$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 32 x = 0$

Schritt 3.3.3.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $32 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (8) = 0$

Schritt 3.3.3.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (8)$ heraus.

$4 x (x^{2} + 8) = 0$

Schritt 3.3.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Schritt 3.3.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3.4

Setze $x^{2} + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.1

Setze $x^{2} + 8$ gleich $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Schritt 3.3.3.4.2

Löse $x^{2} + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 8$

Schritt 3.3.3.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Schritt 3.3.3.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Schritt 3.3.3.4.2.3.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Schritt 3.3.3.4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Schritt 3.3.3.4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Schritt 3.3.3.4.2.3.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.3.3.4.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Schritt 3.3.3.4.2.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Schritt 3.3.3.4.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.3.3.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.3.3.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.3.3.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.3.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x^{2} + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} + 8 x < 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} + 8 x = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 8 x$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 = 0$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 8$ heraus.

$x (x^{2} + 8) = 0$

Schritt 3.5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Schritt 3.5.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5.5

Setze $x^{2} + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.5.1

Setze $x^{2} + 8$ gleich $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Schritt 3.5.5.2

Löse $x^{2} + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.5.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 8$

Schritt 3.5.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Schritt 3.5.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Schritt 3.5.5.2.3.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Schritt 3.5.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Schritt 3.5.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Schritt 3.5.5.2.3.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.5.5.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Schritt 3.5.5.2.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.5.5.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Schritt 3.5.5.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.5.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.5.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.5.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3.5.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sqrt{{(0)}^{3} + 8 (0)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt{0 + 8 (0)}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\sqrt{0 + 0}$

Schritt 4.1.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\sqrt{0}$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 0)$

Schritt 5