Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $x^{2} - 4 x + 4$ und $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} - 4 x + 4$ .

$x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 4 (2) - 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{8}{3} - 8 + 4 (2) - 1$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8}{3} - 8 + 8 - 1$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Schreibe $- 8$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 8 - 1$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 8}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 8 - 1$

Schritt 4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 8}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 8 - 1$

Schritt 4.1.2.2.4

Schreibe $8$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} - 1$

Schritt 4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Schritt 4.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - 1$

Schritt 4.1.2.2.7

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1}$

Schritt 4.1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.1.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{8 - 24 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{8 - 24 + 24 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8 - 24 + 24 - 3}{3}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.5.1

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$\frac{- 16 + 24 - 3}{3}$

Schritt 4.1.2.5.2

Addiere $- 16$ und $24$ .

$\frac{8 - 3}{3}$

Schritt 4.1.2.5.3

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{5}{3}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(2, \frac{5}{3})$

Schritt 5