Analysis Beispiele

$f (x) = \tan (\frac{π x}{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π x}{2}$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ durch $π$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ durch $1$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = \frac{0}{π}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Schritt 2.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm 0$

Schritt 2.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = 0$

Schritt 2.3.4

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\sec (\frac{π x}{2})$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.4.1

Faktorisiere $π$ aus $π n$ heraus.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π (n))$

Schritt 3.2.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 + 2 n$

Schritt 3.2.3

Stelle $1$ und $2 n$ um.

$x = 2 n + 1$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = 2 n + 1}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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