Analysis Beispiele

$f (x) = | 3 x - 4 |$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 3 x - 4$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 4$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + 0)$

Schritt 1.1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \cdot 3$

Schritt 1.1.2.6.2

Kombiniere $\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |}$ und $3$ .

$\frac{(3 x - 4) \cdot 3}{| 3 x - 4 |}$

Schritt 1.1.2.6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 x - 4$ .

$\frac{3 \cdot (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 x + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{9 x - 12}{| 3 x - 4 |}$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $3$ aus $9 x - 12$ heraus.

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Schritt 1.1.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{3 (3 x) - 12}{| 3 x - 4 |}$

Schritt 1.1.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{3 (3 x) + 3 (- 4)}{| 3 x - 4 |}$

Schritt 1.1.3.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x) + 3 (- 4)$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 (3 x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (3 x - 4) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (3 x - 4) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x - 4$ durch $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| 3 x - 4 | = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 x - 4 = \pm 0$

Schritt 3.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 3.2.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 4

Werte $| 3 x - 4 |$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{4}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{4}{3}$ .

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Schritt 4.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 4 - 4 |$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$| 0 |$

Schritt 4.1.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\frac{4}{3}, 0)$

Schritt 5