Analysis Beispiele

$g (y) = \frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y - 4$ und $g (y) = y^{2} - 2 y + 8$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \frac{d}{d y} [y - 4] - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 4$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + 0) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \cdot 1 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $y^{2} - 2 y + 8$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 2 y + 8$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Addiere $2 y - 2$ und $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y - - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y + 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Multipliziere $(- y + 4) (2 y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y - 2) + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.2

Addiere $2 y$ und $8 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Addiere $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y$ und $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 2 y + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.4

Addiere $- 2 y$ und $10 y$ .

$\frac{- y^{2} + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} + 8 y$ heraus.

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Schritt 1.1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{y (- y) + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{y (- y) + y \cdot 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y \cdot 8$ heraus.

$\frac{y (- y + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y (- (y) + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{y (- (y) - 1 (- 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 8)$ heraus.

$\frac{y (- (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Schreibe $- (y - 8)$ als $- 1 (y - 8)$ um.

$\frac{y (- 1 (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (y) = - \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $g (y)$ nach $y$ ist $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$y (y - 8) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$y - 8 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $y - 8$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $y - 8$ gleich $0$ .

$y - 8 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 8$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (y - 8) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 8$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$ an jeden $y$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $y = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $y$ durch $0$ .

$\frac{(0) - 4}{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{- 4}{0^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 4}{0 - 2 \cdot 0 + 8}$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 0 + 8}$

Schritt 4.1.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 8}$

Schritt 4.1.2.2.4

Addiere $0$ und $8$ .

$\frac{- 4}{8}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $8$ .

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Schritt 4.1.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{8}$

Schritt 4.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 4.1.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Berechne bei $y = 8$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $y$ durch $8$ .

$\frac{(8) - 4}{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{4}{8^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{4}{64 - 2 \cdot 8 + 8}$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{4}{64 - 16 + 8}$

Schritt 4.2.2.2.3

Subtrahiere $16$ von $64$ .

$\frac{4}{48 + 8}$

Schritt 4.2.2.2.4

Addiere $48$ und $8$ .

$\frac{4}{56}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $56$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{56}$

Schritt 4.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Schritt 4.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Schritt 4.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{14}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, - \frac{1}{2}), (8, \frac{1}{14})$

Schritt 5