Analysis Beispiele

$y = x \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 + \ln (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) = - 1$

Schritt 2.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Schritt 2.4

Schreibe $\ln (x) = - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- 1}$ um.

$x = e^{- 1}$

Schritt 2.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 3.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $x \ln (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{1}{e}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{e}$ .

$(\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{e}$ als $1 e^{- 1}$ um.

$\frac{1}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $\ln (1 e^{- 1})$ als $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ um.

$\frac{1}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Schritt 4.1.2.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\frac{1}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Schritt 4.1.2.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1)$

Schritt 4.1.2.6

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{1}{e} (0 - 1)$

Schritt 4.1.2.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{e} \cdot - 1$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Schritt 4.1.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{e}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$(0) \ln (0)$

Schritt 4.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$

Schritt 5