Analysis Beispiele

$y = {(1 + 5 x)}^{10}$ , $(0, 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(1 + 5 x)}^{10})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{10}$ und $g (y) = 1 + 5 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + 5 x$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 5 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [5 x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [5 x])$

Schritt 3.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (0 + \frac{d}{d y} [5 x])$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [5 x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [5 x]$

Schritt 3.2.4

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (5 \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$50 {(1 + 5 x)}^{9} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 50 {(1 + 5 x)}^{9} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ um.

$50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ durch $50 {(1 + 5 x)}^{9}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ durch $50 {(1 + 5 x)}^{9}$ .

$\frac{50 {(1 + 5 x)}^{9} x'}{50 {(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 {(1 + 5 x)}^{9} x'}{50 {(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(1 + 5 x)}^{9} x'}{{(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + 5 x)}^{9}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 + 5 x)}^{9} x'}{{(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Schritt 7

Ersetze $x$ durch $0$ und $y$ durch $1$ in dem Ausdruck.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{50 {(1 + 5 (0))}^{9}}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1}{50 {(1 + 0)}^{9}}$

Schritt 8.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{50 \cdot 1^{9}}$

Schritt 8.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{50 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $50$ mit $1$ .

$\frac{1}{50}$