Analysis Beispiele

$x y^{2} = y$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x y^{2}) = \frac{d}{d y} (y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x y + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 x y + y^{2} x'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x y + y^{2} x' = 1$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x' = 1 - 2 x y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} x' = 1 - 2 x y$ durch $y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} x' = 1 - 2 x y$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x'}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} x'}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y \cdot y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y \cdot y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x}{y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2 x}{y}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2 x}{y}$

Schritt 7

Ersetze $x$ durch $1$ und $y$ durch $1$ in dem Ausdruck.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{2 (1)}{1}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1} - \frac{2 (1)}{1}$

Schritt 8.1.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 - \frac{2 (1)}{1}$

Schritt 8.1.3

Dividiere $2 (1)$ durch $1$ .

$1 - (2 (1))$

Schritt 8.1.4

Multipliziere $- (2 (1))$ .

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Schritt 8.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Schritt 8.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 2$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1$