Analysis Beispiele

$f (x) = 8 + 4 e^{0.5 x}$ , $[- 3, 3]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$

Schritt 1.2

Löse $8 + 4 e^{0.5 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 e^{0.5 x} = - 8$

Schritt 1.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4 e^{0.5 x}) = \ln (- 8)$

Schritt 1.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 8)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 1.2.4

Es gibt keine Lösung für $4 e^{0.5 x} = - 8$

Keine Lösung

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x - \int_{- 3}^{3} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 3$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $8 + 4 e^{0.5 x}$ .

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{3} 8 d x + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Schritt 3.4

Wende die Konstantenregel an.

$8 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Schritt 3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 3}^{3} e^{0.5 x} d x$

Schritt 3.6

Sei $u = 0.5 x$ . Dann ist $d u = 0.5 d x$ , folglich $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.6.1

Es sei $u = 0.5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.6.1.1

Differenziere $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Schritt 3.6.1.2

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.5 x$ nach $x$ gleich $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $0.5$ mit $1$ .

$0.5$

Schritt 3.6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 0.5 x$ ein.

$u_{lower} = 0.5 \cdot - 3$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $0.5$ mit $- 3$ .

$u_{lower} = - 1.5$

Schritt 3.6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 0.5 x$ ein.

$u_{upper} = 0.5 \cdot 3$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $0.5$ mit $3$ .

$u_{upper} = 1.5$

Schritt 3.6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1.5$

$u_{upper} = 1.5$

Schritt 3.6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} \frac{1}{0.5} d u$

Schritt 3.7

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.5}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} \frac{e^{u}}{0.5} d u$

Schritt 3.8

Da $\frac{1}{0.5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.5}$ aus dem Integral.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 (\frac{1}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u)$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{0.5}$ und $4$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u$

Schritt 3.10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Schritt 3.11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Berechne $8 x$ bei $3$ und $- 3$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Schritt 3.11.2

Berechne $e^{u}$ bei $1.5$ und $- 1.5$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Schritt 3.11.3

Vereinfache.

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Schritt 3.11.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$24 - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Schritt 3.11.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$24 + 24 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Schritt 3.11.3.3

Addiere $24$ und $24$ .

$48 + \frac{4}{0.5} (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Schritt 3.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.1

Dividiere $4$ durch $0.5$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Schritt 3.12.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}})$

Schritt 3.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$48 + 8 e^{1.5} + 8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$

Schritt 3.12.4

Multipliziere $8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$ .

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Schritt 3.12.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$48 + 8 e^{1.5} - 8 \frac{1}{e^{1.5}}$

Schritt 3.12.4.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$48 + 8 e^{1.5} + \frac{- 8}{e^{1.5}}$

Schritt 3.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$48 + 8 e^{1.5} - \frac{8}{e^{1.5}}$

Schritt 4