Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{3 - e^{2 y}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$ um.

$\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 - e^{2 y}}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - e^{2 y}}$ als ${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - e^{2 y})}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$3 - e^{2 y} = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{2 y} = x^{2} - 3$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{2 y}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{2 y}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $e^{2 y}$ durch $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$e^{2 y} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$e^{2 y} = - x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + 3$

Schritt 3.4.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- x^{2} + 3)$

Schritt 3.4.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.4.1

Zerlege $\ln (e^{2 y})$ durch Herausziehen von $2 y$ aus dem Logarithmus.

$2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} + 3)$

Schritt 3.4.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} + 3)$

Schritt 3.4.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 y = \ln (- x^{2} + 3)$

Schritt 3.4.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Schritt 3.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Schritt 3.4.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \frac{\ln (- {(\sqrt{3 - e^{2 x}})}^{2} + 3)}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe ${\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2}$ als $3 - e^{2 x}$ um.

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Schritt 5.2.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - e^{2 x}}$ als ${(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {({(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 1 \cdot 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.4

Multipliziere $- - e^{2 x}$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + 1 e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.4.2

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 + e^{2 x} + 3$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(0 + e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $0$ und $e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Schritt 5.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Schritt 5.2.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Schritt 5.2.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.7

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{\ln (- x^{2} + 3)}}$

Schritt 5.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - (- x^{2} + 3)}$

Schritt 5.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 1 \cdot 3}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 3}$

Schritt 5.3.7

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 5.3.8

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$