Analysis Beispiele

$C = 2 x + \frac{300000}{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + \frac{300000}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $300000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{300000}{x}$ nach $x$ gleich $300000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 300000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 + 300000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 + 300000 (- x^{- 2})$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $300000$ .

$2 - 300000 x^{- 2}$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 300000 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1.1

Kombiniere $- 300000$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 300000}{x^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - \frac{300000}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{300000}{x^{2}} + 2$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{300000}{x^{2}} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{300000}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{300000}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{300000}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 300000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{300000}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 300000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 300000 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 300000 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 300000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 300000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 300000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 300000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 300000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 300000 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 300000 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 300000 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 300000 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - 300000 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 300000$ .

$f'' (x) = 600000 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 600000 x^{- 3} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 600000 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $600000$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{600000}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $\frac{600000}{x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{600000}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{300000}{x^{2}} + 2 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + \frac{300000}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{300000}{x}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $300000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{300000}{x}$ nach $x$ gleich $300000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 300000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 + 300000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 + 300000 (- x^{- 2})$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $300000$ .

$2 - 300000 x^{- 2}$

Schritt 4.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 300000 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.5.1.1

Kombiniere $- 300000$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 300000}{x^{2}}$

Schritt 4.1.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - \frac{300000}{x^{2}}$

Schritt 4.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{300000}{x^{2}} + 2$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{300000}{x^{2}} + 2$ .

$- \frac{300000}{x^{2}} + 2$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{300000}{x^{2}} + 2 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{300000}{x^{2}} + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{300000}{x^{2}} = - 2$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{300000}{x^{2}} = - 2$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{300000}{x^{2}} = - 2$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{300000}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{300000}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 300000}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 300000}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 300000 = - 2 x^{2}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{2} = - 300000$ um.

$- 2 x^{2} = - 300000$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 300000$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 300000$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 300000}{- 2}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 300000}{- 2}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 300000}{- 2}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividiere $- 300000$ durch $- 2$ .

$x^{2} = 150000$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{150000}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{150000}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $150000$ als $100^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 5.5.4.1.1

Faktorisiere $10000$ aus $150000$ heraus.

$x = \pm \sqrt{10000 (15)}$

Schritt 5.5.4.1.2

Schreibe $10000$ als $100^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{100^{2} \cdot 15}$

Schritt 5.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 100 \sqrt{15}$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 100 \sqrt{15}$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 100 \sqrt{15}$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 100 \sqrt{15}, - 100 \sqrt{15}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{300000}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 100 \sqrt{15}, - 100 \sqrt{15}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 100 \sqrt{15}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{600000}{{(100 \sqrt{15})}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $100 \sqrt{15}$ an.

$\frac{600000}{100^{3} {\sqrt{15}}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $100$ mit $3$ .

$\frac{600000}{1000000 {\sqrt{15}}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Schreibe ${\sqrt{15}}^{3}$ als $\sqrt{15^{3}}$ um.

$\frac{600000}{1000000 \sqrt{15^{3}}}$

Schritt 9.1.4

Potenziere $15$ mit $3$ .

$\frac{600000}{1000000 \sqrt{3375}}$

Schritt 9.1.5

Schreibe $3375$ als $15^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 9.1.5.1

Faktorisiere $225$ aus $3375$ heraus.

$\frac{600000}{1000000 \sqrt{225 (15)}}$

Schritt 9.1.5.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$\frac{600000}{1000000 \sqrt{15^{2} \cdot 15}}$

Schritt 9.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{600000}{1000000 \cdot 15 \sqrt{15}}$

Schritt 9.1.7

Mutltipliziere $1000000$ mit $15$ .

$\frac{600000}{15000000 \sqrt{15}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $600000$ und $15000000$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $600000$ aus $600000$ heraus.

$\frac{600000 (1)}{15000000 \sqrt{15}}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $600000$ aus $15000000 \sqrt{15}$ heraus.

$\frac{600000 (1)}{600000 (25 \sqrt{15})}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{600000 \cdot 1}{600000 (25 \sqrt{15})}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{25 \sqrt{15}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{1}{25 \sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{1}{25 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Schritt 9.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{25 \sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{25 \sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 9.4.2

Bewege $\sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{25 (\sqrt{15} \sqrt{15})}$

Schritt 9.4.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{15}}{25 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}$

Schritt 9.4.4

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{15}}{25 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}$

Schritt 9.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{15}}{25 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{15}}{25 {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 9.4.7

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 9.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{15}}{25 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15^{1}}$

Schritt 9.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $25$ mit $15$ .

$\frac{\sqrt{15}}{375}$

Schritt 10

$x = 100 \sqrt{15}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 100 \sqrt{15}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 100 \sqrt{15}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $100 \sqrt{15}$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 2 (100 \sqrt{15}) + \frac{300000}{100 \sqrt{15}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $100$ mit $2$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{300000}{100 \sqrt{15}}$

Schritt 11.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $300000$ und $100$ .

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Schritt 11.2.1.2.1

Faktorisiere $100$ aus $300000$ heraus.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{100 \cdot 3000}{100 \sqrt{15}}$

Schritt 11.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.2.2.1

Faktorisiere $100$ aus $100 \sqrt{15}$ heraus.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{100 \cdot 3000}{100 (\sqrt{15})}$

Schritt 11.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{100 \cdot 3000}{100 \sqrt{15}}$

Schritt 11.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000}{\sqrt{15}}$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3000}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Schritt 11.2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{3000}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 11.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 11.2.1.4.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 11.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 11.2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{15}$

Schritt 11.2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{3000 \sqrt{15}}{15}$

Schritt 11.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3000$ und $15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.5.1

Faktorisiere $15$ aus $3000 \sqrt{15}$ heraus.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{15 (200 \sqrt{15})}{15}$

Schritt 11.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.5.2.1

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{15 (200 \sqrt{15})}{15 (1)}$

Schritt 11.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{15 (200 \sqrt{15})}{15 \cdot 1}$

Schritt 11.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + \frac{200 \sqrt{15}}{1}$

Schritt 11.2.1.5.2.4

Dividiere $200 \sqrt{15}$ durch $1$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 200 \sqrt{15} + 200 \sqrt{15}$

Schritt 11.2.2

Addiere $200 \sqrt{15}$ und $200 \sqrt{15}$ .

$f (100 \sqrt{15}) = 400 \sqrt{15}$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $400 \sqrt{15}$ .

$y = 400 \sqrt{15}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 100 \sqrt{15}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{600000}{{(- 100 \sqrt{15})}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Wende die Produktregel auf $- 100 \sqrt{15}$ an.

$\frac{600000}{{(- 100)}^{3} {\sqrt{15}}^{3}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $- 100$ mit $3$ .

$\frac{600000}{- 1000000 {\sqrt{15}}^{3}}$

Schritt 13.1.3

Schreibe ${\sqrt{15}}^{3}$ als $\sqrt{15^{3}}$ um.

$\frac{600000}{- 1000000 \sqrt{15^{3}}}$

Schritt 13.1.4

Potenziere $15$ mit $3$ .

$\frac{600000}{- 1000000 \sqrt{3375}}$

Schritt 13.1.5

Schreibe $3375$ als $15^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 13.1.5.1

Faktorisiere $225$ aus $3375$ heraus.

$\frac{600000}{- 1000000 \sqrt{225 (15)}}$

Schritt 13.1.5.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$\frac{600000}{- 1000000 \sqrt{15^{2} \cdot 15}}$

Schritt 13.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{600000}{- 1000000 \cdot 15 \sqrt{15}}$

Schritt 13.1.7

Mutltipliziere $- 1000000$ mit $15$ .

$\frac{600000}{- 15000000 \sqrt{15}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $600000$ und $- 15000000$ .

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Schritt 13.2.1.1

Faktorisiere $600000$ aus $600000$ heraus.

$\frac{600000 (1)}{- 15000000 \sqrt{15}}$

Schritt 13.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.2.1

Faktorisiere $600000$ aus $- 15000000 \sqrt{15}$ heraus.

$\frac{600000 (1)}{600000 (- 25 \sqrt{15})}$

Schritt 13.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{600000 \cdot 1}{600000 (- 25 \sqrt{15})}$

Schritt 13.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 25 \sqrt{15}}$

Schritt 13.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{25 \sqrt{15}}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $\frac{1}{25 \sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$- (\frac{1}{25 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Schritt 13.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{25 \sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$- \frac{\sqrt{15}}{25 \sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 13.4.2

Bewege $\sqrt{15}$ .

$- \frac{\sqrt{15}}{25 (\sqrt{15} \sqrt{15})}$

Schritt 13.4.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{15}}{25 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}$

Schritt 13.4.4

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{15}}{25 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}$

Schritt 13.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{15}}{25 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Schritt 13.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{15}}{25 {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 13.4.7

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{15}}{25 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15^{1}}$

Schritt 13.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{15}}{25 \cdot 15}$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $25$ mit $15$ .

$- \frac{\sqrt{15}}{375}$

Schritt 14

$x = - 100 \sqrt{15}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 100 \sqrt{15}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 100 \sqrt{15}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 100 \sqrt{15}$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = 2 (- 100 \sqrt{15}) + \frac{300000}{- 100 \sqrt{15}}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1

Mutltipliziere $- 100$ mit $2$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} + \frac{300000}{- 100 \sqrt{15}}$

Schritt 15.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $300000$ und $- 100$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.2.1

Faktorisiere $100$ aus $300000$ heraus.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} + \frac{100 (3000)}{- 100 \sqrt{15}}$

Schritt 15.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.2.2.1

Faktorisiere $100$ aus $- 100 \sqrt{15}$ heraus.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} + \frac{100 (3000)}{100 (- \sqrt{15})}$

Schritt 15.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} + \frac{100 \cdot 3000}{100 (- \sqrt{15})}$

Schritt 15.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} + \frac{3000}{- \sqrt{15}}$

Schritt 15.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000}{\sqrt{15}}$

Schritt 15.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{3000}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - (\frac{3000}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Schritt 15.2.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{3000}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 15.2.1.5.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 15.2.1.5.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 15.2.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Schritt 15.2.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 15.2.1.5.6

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 15.2.1.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 15.2.1.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.2.1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.2.1.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{15}$

Schritt 15.2.1.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{3000 \sqrt{15}}{15}$

Schritt 15.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3000$ und $15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.6.1

Faktorisiere $15$ aus $3000 \sqrt{15}$ heraus.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{15 (200 \sqrt{15})}{15}$

Schritt 15.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.6.2.1

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{15 (200 \sqrt{15})}{15 (1)}$

Schritt 15.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{15 (200 \sqrt{15})}{15 \cdot 1}$

Schritt 15.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - \frac{200 \sqrt{15}}{1}$

Schritt 15.2.1.6.2.4

Dividiere $200 \sqrt{15}$ durch $1$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - (200 \sqrt{15})$

Schritt 15.2.1.7

Mutltipliziere $200$ mit $- 1$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 200 \sqrt{15} - 200 \sqrt{15}$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $200 \sqrt{15}$ von $- 200 \sqrt{15}$ .

$f (- 100 \sqrt{15}) = - 400 \sqrt{15}$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 400 \sqrt{15}$ .

$y = - 400 \sqrt{15}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 x + \frac{300000}{x}$ .

$(100 \sqrt{15}, 400 \sqrt{15})$ ist ein lokales Minimum

$(- 100 \sqrt{15}, - 400 \sqrt{15})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17